Найдите точку максимума функции у=(х-5)^2∙е^(х-7).

Задание ЕГЭ

Решение

Решение:

y = (x − 5)²∙e^x−7

    Найдём производную функцию:

′ = (( −5)²)′∙ ⁻⁷ + ( −5)²∙( ⁻⁷)′ = 2·( −5)∙ ⁻⁷ + ( −5)²∙ ⁻⁷ = ⁻⁷(2·( −5) + ( −5)²) = ⁻⁷(2x – 10 + x² – 10x + 25) = ⁻⁷(x² – 8x + 15)

    Найдём нули функции:

⁻⁷(x² – 8x + 15) = 0
⁻⁷ = 0 корней нет
или
x² – 8x + 15 = 0
D = (–8)² – 4·1·15 = 4 = 2²

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка максимума х = 3.

Ответ: 3.