Найдите точку максимума функции y = (2x − 3)cos x − 2sin x + 2 на промежутке (0; 2π).

Задание ЕГЭ

Решение

Решение:

y = (2x − 3)·cos x − 2sin x + 2

    Найдем производную функции:

    y′ = (2x − 3)′·cos x + (2x − 3)·cos x′ − (2sin x)′ + 2′ = 2cos x − (2x − 3)·sin x − 2cos x + 0 = − (2x − 3)·sin x

    Найдем нули производной:

− (2x − 3)·sin x = 0    | · (–1)
(2x − 3)·sin x = 0
2x − 3 = 0
2x = 3
x = 1,5
или
sin x = 0
x = πk, k ∈ Ζ
учитывая промежуток  (0; 2π)
x = π

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка максимума: х = 1,5.

Ответ: 1,5.