Найдите точку максимума функции y = (x – 14)^2∙e^(26-x).

Задание ЕГЭ

Решение

Решение:

y = (x − 14)²∙e^26−x

    Найдем производную функции:

    y′ = ((x − 14)²)′·e^26−x + (x − 14)²·(e^26−x)′ = 2·(x − 14)·(x − 14)′·e^x+44 + (x − 14)²·e^26−x·(26−x)′ = 2·(x − 14)·1·e^26−x + (x − 14)²·e^26−x·(–1) = (2x − 28)·e^26−x – (x − 14)²·e^26−x· = e^26−x·(2x − 28 – (x − 14)²) = e^26−x·(2x − 28 – x² + 28х – 196) = e^26−x·(–x² + 30х – 224)

    Найдем нули производной:

y′ = 0
e^26−x·(–x² + 30х – 224) = 0
–x² + 30х – 224 = 0

D = 30² – 4·(–1)·(–224) = 900 – 896 = 4 = 2²
x_{1}=\frac{–30–2}{2\cdot (–1)}=\frac{–32}{–2}=16\\x_{2}=\frac{–30+2}{2\cdot (–1)}=\frac{–28}{–2}=14

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка максимума: х = 16.

Ответ: 16.