Найдите точку максимума функции y=(x^2−13x+13)∙e^(5-x).

Задание ЕГЭ

Найдите точку максимума функции y = (x2 − 13x + 13)∙e5–x.

Решение

Решение:

y = (x² − 13x + 13)∙e^5–x

    Найдём производную функцию:

у′ = (x² − 13x + 13)′∙e^5–x + (x² − 13x + 13)∙(e^5–x)′ = (2x − 13)∙e^5–x + (x² − 13x + 13)∙e^5–x·(–1) = (2x − 13)∙e^5–x – (x² − 13x + 13)∙e^5–x = e^5–x·(2x − 13 – x² + 13x – 13) = e^5–x·(–x² + 15х – 26)

    Найдём нули функции:

e^5–x·(–x² + 15х – 26) = 0 
e^5–x = 0 корней нет
или
–x² + 15х – 26 = 0

D = 15² – 4·(–1)·(–26) = 121 = 11²
x_{1}=\frac{–15+11}{2\cdot (–1)}=\frac{–4}{–2}=2\\x_{2}=\frac{–15–11}{2\cdot (–1)}=\frac{–26}{–2}=13

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка максимума х = 13.

Ответ: 13.