Найдите точку минимума функции y = 4/3x√x – 5x + 4.

Задание ЕГЭ

Найдите точку минимума функции y = \frac{4}{3}x\sqrt{x}-5x+4.

Решение

Решение:

y=\frac{4}{3}x\sqrt{x}-5x+4=\frac{4}{3}x^{1} \cdot x^{\frac{1}{2}}-5x+4=\frac{4}{3}x^{1+\frac{1}{2}}-5x+4=\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-5x+4
ОДЗ: х ≥ 0

    Найдем производную функции:

y′=(\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-5x+4)′=\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}-5+0=2x^{\frac{1}{2}}-5=2\sqrt{x}-5

    Найдем нули производной:

2\sqrt{x} – 5 = 0
2\sqrt{x} = 5
\sqrt{x} = \frac{5}{2} |²
x = \frac{25}{4}

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка минимума х = \frac{25}{4} = 6,25.

Ответ: 6,25.