Найдите значение 13cos(π/2 – α), если cosα = -12/13 и α∈ (π/2; π).

Задание ЕГЭ

Найдите значение 13cos(\frac{\pi}{2} − α), если cosα = −\frac{12}{13} и α∈ (\frac{\pi}{2}; π).

Решение

Решение:

    Из основного тригонометрического тождества, найдём значение sinα:

sin²α + cos²α = 1
sin²α + (-\frac{12}{13})^{2} = 1
sin²α + \frac{144}{169} = 1
sin²α = 1 – \frac{144}{169} 
sin²α = \frac{169}{169}  – \frac{144}{169} 
sin²α = \frac{25}{169}
sinα = \pm \sqrt{\frac{25}{169}}=\pm \frac{5}{13}

    По условию α∈ (\frac{\pi}{2}; π), на данном промежутке sin принимает только положительные значения:

sinα = +\frac{5}{13}

13cos(\frac{\pi}{2} − α) = 13·(cos\frac{\pi}{2}·cosα + sin\frac{\pi}{2}·sinα) = 13·(0·(-\frac{12}{13}) + 1·\frac{5}{13}) = 13·\frac{5}{13} = 5

    Значения cos\frac{\pi}{2} и sin\frac{\pi}{2} находил по тригонометрическому кругу:

sinα = +\frac{5}{13}

13cos(\frac{\pi}{2} − α) = 13·(cos\frac{\pi}{2}·cosα + sin\frac{\pi}{2}·sinα) = 13·(0·(-\frac{12}{13}) + 1·\frac{5}{13}) = 13·\frac{5}{13} = 5

    Значения cos\frac{\pi}{2} и sin\frac{\pi}{2} находил по тригонометрическому кругу:

    При решении использовал формулы (1) и (5) из справочного материала ЕГЭ:

Ответ: 5.