Задание ЕГЭ
Объём конуса равен 256. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.Решение
Решение:
V_{кон}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=256
Конус поделен в отношении 1:3, т.е. всего 4 части (1+3). Высота отсекаемого конуса равна \frac{1}{4} высоты исходного конуса.
Радиусы поделятся в таком же соотношении, по свойству получившихся подобных треугольников. Радиус отсекаемого конуса равен \frac{1}{4} радиуса исходного конуса.
| h | r | |
| Исходный конус (Vкон) | h | r |
| Отсекаемый конус (Vотс) | \color{Red} \frac{1}{4}h | \color{Blue} \frac{1}{4}r |
V_{отс}=\frac{1}{3}\pi(\frac{1}{4}r)^{2}\frac{1}{4}h=\frac{1}{64}\cdot \frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{64}\cdot V_{кон}=\frac{1}{64}\cdot256=\frac{256}{64}=4
Ответ: 4.