Объём треугольной пирамиды равен 14.

Задание ЕГЭ

Объём треугольной пирамиды равен 14. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 2:5, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Решение

Решение:

    По условию SK:KC = 2:5, пусть SK = 2x, KC = 5x, тогда:

SC = SK + KC = 2x + 5x = 7x

    SM и KN высоты треугольных пирамид. ΔSMC подобен ΔKNC по двум равным углам (∠C – общий, ∠SMC = ∠KNC = 90°), тогда подобны сходственные стороны:

\frac{SC}{KC}=\frac{SM}{KN}\\ \frac{7x}{5x}=\frac{SM}{KN}\\ \frac{SM}{KN}=\frac{7}{5}

    Объём треугольной пирамиды SABC находится по формуле:

V_SABC = \frac{1}{3}·S_ocн·SM = 14

    Объём треугольной пирамиды KABC находится по формуле:

V_KABC = \frac{1}{3}·S_ocн·KN

    Запишем отношение объёмов пирамид и найдём V_KABC:

\frac{V_{SABC}}{V_{KABC}}=\frac{\frac{1}{3}\cdot S_{ocn}\cdot SM}{\frac{1}{3}\cdot S_{ocn}\cdot KN}\\\frac{14}{V_{KABC}}=\frac{SM}{KN}\\\frac{14}{V_{KABC}}=\frac{7}{5}\\V_{KABC}=\frac{14\cdot 5}{7}=2\cdot 5=10

    Найдём V_SBKA:

V_SBKA = V_SABC – V_KABC = 14 – 10 = 4

    Больший из объёмов найденных пирамид равен 10.

Ответ: 10.