Одна из граней прямоугольного параллелепипеда – квадрат.

Задание ЕГЭ

Одна из граней прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Диагональ параллелепипеда равна √8 и образует с плоскостью этой грани угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

Решение

Решение:

    Рассмотрим ΔАСD в нём ∠DAC = 45° по условию, ∠АСD = 90°, как угол параллелепипеда, найдём 3-й угол:

∠СDA = 180° – ∠АСD – ∠DAC = 180° – 90° – 45° = 45°

    Значит этот треугольник равнобедренный и прямоугольный, стороны при основании равны АС = СD. По теореме Пифагора найдём АС:

AD² = AC² + CD²
AD² = AC² + AC²
(√8)² = 2AC²
AC² = 8/2 = 4
AC = √4 = 2

    ΔАВС прямоугольный по теореме Пифагора найдём АВ = ВС:

АС² = АВ² + ВС²
2² = АВ² + АВ²
4 = 2АВ²
АВ² = 4/2 = 2
АВ = √2

    Найдём объём параллелепипеда:

V = AB·BC·CD = √2·√2·2 = 2·2 = 4

Ответ: 4.