Около окружности, радиус которой равен 1, описан многоугольник, периметр которого равен 8. Найдите его площадь.

На чтение 1 мин Просмотров 12 Обновлено 03.04.2024

Задание ЕГЭ

Решение

Решение:

Соединим центр окружности О с вершинами многоугольника. Проведём радиусы к сторонам многоугольника, являющимися касательными.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Полученные углы будут прямыми, значит радиусы являются высотами треугольников.

Найдём площадь многоугольника как сумму площадей треугольников:

$S_{ABCDE}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOE}+S_{EOA}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot R+\frac{1}{2}\cdot BC\cdot R+\frac{1}{2}\cdot CD\cdot R+\frac{1}{2}\cdot DE\cdot R+\frac{1}{2}\cdot EA\cdot R=\frac{1}{2}\cdot R\cdot (AB+BC+CD+DE+EA)=\frac{1}{2}\cdot R\cdot P=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 8=4$

(или можно сразу считать по формуле площади многоугольника, описанного около окружности: $S_{многоуг.}=\frac{1}{2}\cdot R\cdot P$ , если помните её)

Ответ: 4.