Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B.

Задание ЕГЭ

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B . Найдите диаметр окружности, если AB = 3, AC = 9.

Решение

Решение:

    Проводим отрезок ВО. Он будет являться радиусом окружности и  перпендикуляром к касательной АВ: 

    В полученном прямоугольном ΔАВО АВ = 3, ВО = R, АО = АС – R = 9 – R. По теореме Пифагора найдём R:

АO² = AB² + BO²
(9 – R)² = 3² + R²
81 – 18R + R² = 9 + R²
–18R + R² – R² = 9 – 81
–18R = –72
R = –72/(–18) = 4

    Найдём диаметр окружности, он равен двум радиусам:

d = 2R = 2·4 = 8

Ответ: 8.