Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину C и касается прямой АВ в точке В.

На чтение 1 мин Просмотров 8 Обновлено 03.04.2024

Задание ЕГЭ

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину C и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ = 2, АС = 8.

Решение

Способ 1
Решение:

Проводим отрезок ВО. Он будет являться радиусом окружности и перпендикуляром к касательной АВ:

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину C

В полученном прямоугольном ΔАВО АВ = 2, ВО = R, АО = АС – R = 8 – R. По теореме Пифагора найдём R:

АO² = AB² + BO²
(8 – R)² = 2² + R²
64 – 16R + R² = 4 + R²
–16R + R² – R² = 4 – 64
–16R = –60
R = –60/(–16) = 3,75

Найдём диаметр окружности, он равен двум радиусам:

d = 2R = 2·3,75 = 7,5

Ответ: 7,5.

Способ 2
Решение:

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину C и касается прямой АВ в точке В.

В полученном прямоугольном ΔАВО АВ = 2, ВО = R, АО = АС – R = 8 – R. По теореме Пифагора найдём R:

АO² = AB² + BO²
(8 – R)² = 2² + R²
64 – 16R + R² = 4 + R²
–16R + R² – R² = 4 – 64
–16R = –60
R = –60/(–16) = 3,75

Найдём диаметр окружности, он равен двум радиусам:

d = 2R = 2·3,75 = 7,5

Ответ: 7,5.

Способ 2
Решение:

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину C и касается прямой АВ в точке В.

По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь):
Если из одной точки к окружности проведены секущая (АС) и касательная (АB), то произведение всей секущей (АС) на ее внешнюю часть (АD) равно квадрату отрезка касательной (АB).

АС·АD = АB²
АС·(AC – DC) = АB²
8·(8 – DC) = 2²64 – 8·DC = 4
64 – 4 = 8·DC
60 = 8·DC
${\color{Red}DC} =\frac{60}{8}={\color{Red} 7,5}$

Ответ: 7,5.