Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом.

Задание ЕГЭ

Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Решение

Решение:

    Построим рисунок по условию, + проведём радиусы: ОA, ОF, OB, EF, EC, ED, построим перпендикуляры AK⊥CD, OP⊥EC:

    AK – искомое расстояние между прямыми АВ и CD.
    ΔCAK∼ΔPOE, по двум равным углам (∠CKA=∠OPE = 90°, ∠CAK = ∠POE, т.к. АС||OP, AK||OE). Запишем соотношение сторон:

\frac{AC}{OE}=\frac{AK}{OP}

    Выразим АК:

AK=\frac{AC\cdot OP}{OE}

    Найдём ОЕ, как сумму двух радиусов:

OE = OF + EF = 36 + 45 = 81

    AOPC – прямоугольник (EC⊥AC, OA⊥AC, как радиусы и касательная), противоположные стороны равны:

ОА = РС = 36
АС = ОР

    Найдём EP, как разность двух радиусов:

EP = EC – PC = EC – OA = 45 – 36 = 9

    В прямоугольном ΔОРЕ по теореме Пифагора найдём ОР:

ОР² = ОE² – EP² = 81² – 9² = (81 – 9)·(81 + 9) = 72·90 = 6480
OP=\sqrt{6480}

    Найдём искомое расстояние АК:

AK=\frac{AC\cdot OP}{OE}=\frac{\sqrt{6480}\cdot \sqrt{6480}}{81}=\frac{6480}{81}=80

Ответ: 80.