Задание ЕГЭ
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые AB и IJ перпендикулярны.Решение
Решение:
Построим радиусы IA = IB и JA = JB.
Рассмотрим ΔIJA и ΔIJB, в них стороныIA = IBиJA = JB, как радиусы окружностей, сторона IJ общая. ΔIJA = ΔIJB по трём равным сторонам.
Из равенства треугольников ∠AIJ = ∠BIJ, значит прямая IJ является биссектрисой ∠I, в равнобедренном ΔIAB.
Биссектриса равнобедренного треугольника проведённая к основанию так же является и высотой, тогда AB⊥IJ.
Что и требовалось доказать.