Задание ЕГЭ
Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.Решение
Решение:
Построим радиусы MS = MT и NS = NT.
Рассмотрим ΔMNS и ΔMNT, в них стороны MS = MT и NS = NT, как радиусы окружностей, сторона MN общая. ΔMNS = ΔMNT по трём равным сторонам.
Из равенства треугольников ∠SMN = ∠TMN, значит прямая MN является биссектрисой ∠M, в равнобедренном ΔMST.
Биссектриса равнобедренного треугольника проведённая к основанию так же является и высотой, тогда ST⊥MN.
Что и требовалось доказать.