Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12.

Задание ЕГЭ

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение

Решение:

    О – центр не вписанной окружности, Q – центр вписанной окружности, по условию получаем рисунок:

    Достроим ОВ, которая является биссектрисой равнобедренного ΔАВС, а значит и медианой ⇒ CH = AH = 12/2 = 6. Достроим радиусы QK и OL к касательной DC. Радиус и касательная всегда пересекаются под прямым углом.

    Достроим ОВ, которая является биссектрисой равнобедренного ΔАВС, а значит и медианой ⇒ CH = AH = 12/2 = 6. Достроим радиусы QK и OL к касательной DC. Радиус и касательная всегда пересекаются под прямым углом.

    По свойству отрезков касательных к окружности проведённых из одной точки CH = CK = CL = 6.
    Обозначим радиус вписанной окружности – r. LOQK – прямоугольная трапеция, проведём в ней высоту и рассмотрим ΔNQO.

    Сторона QN = KL = 12, как противоположные стороны прямоугольника. OQ = 8 + r, это сумма радиусов. NO = 8 – r. Треугольник прямоугольный, через теорему Пифагора найдём r:

QN² + ON² = OQ²
12² + (8 – r)² = (8 + r)²
144 + 64 –16r + r² = 64 + 16r +r²
–16r + r² – 16r – r² = 64 – 144 – 64
–32r = –144
r = –144/(–32) = 4,5

Ответ: 4,5.