Задание ЕГЭ
Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 6, 10 и 14. Каждое из боковых рёбер пирамиды наклонено к основанию под углом 45°. Вычислите объём пирамиды.Решение
Решение:
По формуле Герона найдём площадь основания пирамиды. Полупериметр равен:
p=\frac{6+10+14}{2}=\frac{30}{2}=15
Площадь треугольника равна:
S_{\Delta }=\sqrt{15\cdot (15-14)\cdot (15-10)\cdot (15-6)}=\sqrt{15\cdot 1\cdot 5\cdot 9}=5\cdot 3\cdot \sqrt{3}=15\sqrt{3}
Если боковые ребра наклонены под одинаковым углом к основанию, то высота проектируется в центр описанной окружности.
Треугольник получается равнобедренный и прямоугольный, радиус окружности равен высоте пирамиды.
Найдём радиус, через найденную ранее площадь треугольника:
R=h=\frac{abc}{4S}=\frac{6\cdot 10\cdot 14}{4\cdot 15\sqrt{3}}=\frac{14}{\sqrt{3}}
Найдём объём пирамиды:
V=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta }\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 15\sqrt{3}\cdot \frac{14}{\sqrt{3}}=70
Ответ: 70.