Основания трапеции относятся как 1:5.

Задание ЕГЭ

Основания трапеции относятся как 1:5. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

Решение

Решение:

    По условию:

\frac{BC}{AD}=\frac{1}{5}=\frac{1\cdot x}{5\cdot x}

    Обозначим BC = x, а AD = 5x.
    Отрезок (KT) проходящий через точку (O) пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, равен среднему гармоническому оснований трапеции:

KT=\frac{2\cdot AD\cdot BC}{AD+BC}=KT=\frac{2\cdot 5x\cdot x}{5x+x}=\frac{10x^{2}}{6x}=\frac{5x}{3}

    ΔАОD подобен ΔBOC по двум равным углам (∠BOC = ∠AOD – вертикальные, ∠СAD = ∠ACB – накрест лежащие при AD||BC и секущей АС), тогда коэффициент подобия равен:

\frac{BC}{AD}=\frac{x}{5x}=\frac{1}{5}

    Значит и их высоты имеют такой же коэффициент подобия, отсюда:

\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{1}{5}
h₂ = 5·h₁

    Найдём в каком отношении отрезок КТ делит площадь трапеции:

\frac{S_{KBCT}}{S_{AKTD}}=\frac{\frac{KT+BC}{2}\cdot h_{1}}{\frac{AD+KT}{2}\cdot h_{2}}=\frac{\frac{\frac{5x}{3}+x}{2}\cdot h_{1}}{\frac{5x+\frac{5x}{3}}{2}\cdot 5h_{1}}=\frac{\frac{5x}{3}+x}{(5x+\frac{5x}{3})\cdot 5}=\frac{\frac{5x}{3}+x\:{\color{Blue} |\cdot 3} }{25x+\frac{25x}{3}\:{\color{Blue} |\cdot 3} }=\frac{5x+3x}{75x+25x}=\frac{8x}{100x}=\frac{2}{25}

Ответ: \frac{2}{25}.