Задание ЕГЭ
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 18, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 12 и 9.Решение
Решение:
Расстояния от центра окружности О до хорд АВ и CD это перпендикуляры ОН и ОК соответственно:
Построим радиусы ОВ и ОА, ΔАОВ равнобедренный, ОН является высотой, медианой и биссектрисой. Значит АН = НВ.
Найдём НВ:
НВ = АВ/2 = 18/2 = 9
ΔОНВ прямоугольный из него по теореме Пифагора найдём радиус ОВ:
OB=\sqrt{OH^{2}+HB^{2}}=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15
Построим радиусы ОВ и ОА, ΔАОВ равнобедренный, ОН является высотой, медианой и биссектрисой. Значит АН = НВ.
Найдём НВ:
НВ = АВ/2 = 18/2 = 9
ΔОНВ прямоугольный из него по теореме Пифагора найдём радиус ОВ:
OB=\sqrt{OH^{2}+HB^{2}}=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15
Аналогично, построим радиусы OC, OD. Получаем равнобедренный ΔCOD с высотой и медианой ОК.
ΔОКC прямоугольный из него по теореме Пифагора найдём KС:
KC=\sqrt{OC^{2}–KO^{2}}=\sqrt{15^{2}–9^{2}}=\sqrt{225–81}=\sqrt{144}=12
Найдём длину хорды СD:
CD = KC·2 = 12·2 = 24
Ответ: 24.