Задание ЕГЭ
Площадь полной поверхности конуса равна 32,5. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 4:1, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.Решение
Решение:
Большой и маленький конусы будут подобны, т.к. один из них является частью другого. Высота маленького конуса равна 4х, а высота большого конуса равна:
4х + 1х = 5х
Найдём коэффициент подобия конусов:
k=\frac{h_{бол}}{h_{мал}}=\frac{5x}{4x}=\frac{5}{4}
Высоты, образующие и радиусы конусов будут подобны с коэффициентом \frac{5}{4}.
Образующая маленького конуса равна l, образующая большого конуса равна \frac{5}{4}l. Радиус маленького конуса равен R, радиус большого конуса равен \frac{5}{4}R.
Площадь полной поверхности большего конуса равна 32,5 и находится по формуле:
S_{полн.пов.бол.}=\pi\cdot (\frac{5}{4}R)^{2}+\pi\cdot \frac{5}{4}R\cdot \frac{5}{4}l=32,5\\\pi\cdot \frac{25}{16}\cdot R^{2}+\pi\cdot \frac{25}{16}\cdot R\cdot l=32,5\\\frac{25}{16}\cdot (\pi R^{2}+\pi Rl)=32,5\\\pi R^{2}+\pi Rl=\frac{32,5}{\frac{25}{16}}\\\pi R^{2}+\pi Rl=\frac{32,5\cdot 16}{25}\\\pi R^{2}+\pi Rl=20,8
Площадь полной поверхности маленького конуса равна:
S_{полн.пов.мал.}=\pi R^{2}+\pi Rl=20,8
Ответ: 20,8.