Задание ЕГЭ
Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.Решение
Решение:
Большой и маленький конусы будут подобны, т.к. один из них является частью другого. Высота маленького конуса равна 3х, а высота большого конуса равна:
3х + 2х = 5х
Найдём коэффициент подобия конусов:
k=\frac{h_{бол}}{h_{мал}}=\frac{5x}{3x}=\frac{5}{3}
Высоты, образующие и радиусы конусов будут подобны с коэффициентом \frac{5}{3}.
Образующая маленького конуса равна l, образующая большого конуса равна \frac{5}{3}l. Радиус маленького конуса равен R, радиус большого конуса равен \frac{5}{3}R.
Площадь полной поверхности большего конуса равна 35 и находится по формуле:
S_{полн.пов.бол.}=\pi\cdot (\frac{5}{3}R)^{2}+\pi\cdot \frac{5}{3}R\cdot \frac{5}{3}l=35\\\pi\cdot \frac{25}{9}\cdot R^{2}+\pi\cdot \frac{25}{9}\cdot R\cdot l=35\\\frac{25}{9}\cdot (\pi R^{2}+\pi Rl)=35\\\pi R^{2}+\pi Rl=\frac{35}{\frac{25}{9}}\\\pi R^{2}+\pi Rl=\frac{35\cdot 9}{25}\\\pi R^{2}+\pi Rl=12,6
Площадь полной поверхности маленького (отсечённого) конуса равна:
S_{полн.пов.мал.}=\pi R^{2}+\pi Rl=12,6
Ответ: 12,6.