Постройте график функции у = х^2 – 3|х| – х

Задание ЕГЭ

Постройте график функции у = х2 – 3|х| – х и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Решение

Решение:

y=x^{2}-3|x|-x=\begin{cases} x^{2}-3\cdot (+x)-x \\ x^{2}-3\cdot (-x)-x \end{cases}=\begin{cases} x^{2}-3x-x \\ x^{2}+3x-x \end{cases}=\begin{cases} x^{2}-4x,\color{Blue} x\ge 0 \\ x^{2}+2x,\color{Blue} x\lt 0\end{cases}

Парабола №1:

y₁ = x² – 4x, x ≥ 0, ветви направлены вверх;

Найдём координаты вершины параболы:

x_{1,верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–(–4)}{2\cdot 1}=2
y_1,верш (2) = 2² – 4·2 = 4 – 8 = –4
(2; –4) – вершина параболы

x	0	1	3
y	0	–3	–3

Парабола №2:

y₁ = x² + 2x, x < 0, ветви направлены вверх;

Найдём координаты вершины параболы:

x_{2,верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–2}{2\cdot 1}=-1
y_2,верш (–1) = (–1)² + 2·(–1) = 1 – 2 = –1
(–1; –1) – вершина параболы

x	–2	–3	–4
y	0	3	8

 

Ответ: [–4; –1]∪[0; +∞).