Постройте график функции у = x|x| + 2|x| – 3х.

Задание ЕГЭ

Постройте график функции у = x|x| + 2|x| – 3х.Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение

Решение:

y=x|x|+2|x|-3x=\begin{cases} x\cdot (+x)+2\cdot (+x)-3x \\ x\cdot (-x)+2\cdot (-x)-3x \end{cases}=\begin{cases} x^{2}+2x-3x \\ -x^{2}-2x-3x \end{cases}=\begin{cases} x^{2}-x\color{Blue} ,\:при\:x\ge 0 \\ -x^{2}-5x\color{Blue} ,\:при\:x\le 0 \end{cases}

y = x² – x, парабола, при x ≥ 0, ветви вверх.
Найдём координаты вершины:
x_{верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–(–1)}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}=0,5
y_верш(0,5) = 0,5² – 0,5 = –0,25
(0,5; –0,25) – вершина параболы

x	0	1	2
y	0	0	2

y = –x² – 5x, парабола, при x ≤ 0, ветви вниз.
Найдём координаты вершины:
x_{верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–(–5)}{2\cdot (–1)}=\frac{5}{–2}=–2,5
y_верш(–2,5) = –(–2,5)² – 5·(–2,5) = 6,25
(–2,5; 6,25) – вершина параболы

x	–1	–2	–3	–4
y	4	6	6	4

 

Ответ: m = –0,25; m = 6,25.