Постройте график функции у = x|x| + |x| – 5х.

Задание ЕГЭ

Постройте график функции у = x|x| + |x| – 5х.Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение

Решение:

y=x|x|+|x|-5x=\begin{cases} x\cdot |+x|+|+x|-5x \\ x\cdot |-x|+|-x|-5x \end{cases}=\begin{cases} x^{2}+x-5x \\ -x^{2}-x-5x \end{cases}=\begin{cases} x^{2}-4x\color{Blue} ,\:при\:x\ge 0 \\ -x^{2}-6x\color{Blue} ,\:при\:x < 0 \end{cases}

y = x² – 4x, парабола, при x ≥ 0, ветви вверх.
Найдём координаты вершины:
x_{верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–(–4)}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2
y_верш(2) = 2² – 4·2 = –4
(2; –4) – вершина параболы

x	0	4	5
y	0	0	5

y = –x² – 6x, парабола, при x < 0, ветви вниз.
Найдём координаты вершины:
x_{верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–(–6)}{2\cdot (–1)}=\frac{6}{–2}=–3
y_верш(–3) = –(–3)² – 6·(–3) = 9
(–3; 9) – вершина параболы

x	–1	–2	–4	–5
y	5	8	8	5

 

Ответ: m = –4; m = 9.