Постройте график функции  y = x^2 – 11x – 2|x – 5| + 30

Задание ЕГЭ

Постройте график функции  y = x2 – 11x – 2|x – 5| + 30 и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

Решение:

y=x^{2}-11x-2|x-5|+30=\begin{cases} x^{2}-11x-2(+(x-5))+30,\color{Blue} для \:x-5\ge 0,x\ge 5 \\ x^{2}-11x-2(-(x-5))+30,\color{Blue} для \:x-5\lt 0,x<5 \end{cases}=\begin{cases} x^{2}-11x-2x+10+30 \\ x^{2}-11x+2x-10+30 \end{cases}=\begin{cases} x^{2}-13x+40 \\ x^{2}-9x+20 \end{cases}

Парабола №1:

y₁ = x² – 13x + 40, x ≥ 5, ветви направлены вверх;

Найдём координаты вершины параболы:

x_{1,верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–(–13)}{2\cdot 1}=6,5
y_1,верш (6,5) = 6,5² – 13·6,5 + 40 = –2,25
(6,5; –2,25) – вершина параболы

x	5	6	7
y	0	–2	–2

Парабола №2:

y₁ = x² – 9x + 20, x < 5, ветви направлены вверх;

Найдём координаты вершины параболы:

x_{2,верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–(–9)}{2\cdot 1}=4,5
y_2,верш (4,5) = 4,5² – 9·4,5 + 20 = –0,25
(4,5; –0,25) – вершина параболы

x	4	3	2
y	0	2	6

 

Ответ: –0,25; 0.