Задание ЕГЭ
Постройте график функции y=\frac{(x^{2}+4)(x+1)}{–1–x} и определите, при каких значениях k прямая у = kх имеет с графиком ровно одну общую точку.Решение
Решение:
ОДЗ: –1 – x ≠ 0
– x ≠ 1
x ≠ –1
y=\frac{(x^{2}+4)(x+1)}{–1–x}=y=\frac{(x^{2}+4)(x+1)}{–(1+x)}=\frac{x^{2}+4}{–1}=–x^{2}–4 |
Графиком является парабола, ветви вниз (а = –1, а < 0).
Найдём координаты тоски не принадлежащей графику по ОДЗ:
y(–1) = –(–1)2 – 4 = –5
(–1; –5) ∉ графику параболы
Найдём координаты вершины параболы:
x_{верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–0}{2\cdot 1·(–1)}=0
yверш (0) = –02 – 4 = –4
(0; –4) – вершина параболы
x | 1 | 2 | –2 |
y | –5 | –8 | –8 |
y = kx, прямая проходящая через начало координат (0; 0).
1-я прямая проходит через точку (–1; –5):
–5 = k·(–1)
k = –5/(–1) = 5
Две другие прямые являются касательными к параболе, в точке касания координаты х и у функций равны:
y = y
–x2 – 4 = kx
–x2 – kx – 4 = 0 |:(–1)
x2 + kx + 4 = 0
D = k2 – 4·1·4 = k2 – 16 = 0, координата х должна быть единственная, значит D = 0.
k2 = 16
k1 = +√16 = 4
k2 = –√16 = –4
Ответ: –4; 4; 5.