Постройте график функции y=(x^2+4)(x+1)/(–1–x)

Задание ЕГЭ

Постройте график функции y=\frac{(x^{2}+4)(x+1)}{–1–x} и определите, при каких значениях k прямая у = kх имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Решение:

ОДЗ: –1 – x ≠ 0
– x ≠ 1
x ≠ –1

y=\frac{(x^{2}+4)(x+1)}{–1–x}=y=\frac{(x^{2}+4)(x+1)}{–(1+x)}=\frac{x^{2}+4}{–1}=–x^{2}–4

    Графиком является парабола, ветви вниз (а = –1, а < 0).
    Найдём координаты тоски не принадлежащей графику по ОДЗ:

y(–1) = –(–1)² – 4 = –5
(–1; –5) ∉ графику параболы

Найдём координаты вершины параболы:

x_{верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–0}{2\cdot 1·(–1)}=0
y_верш (0) = –0² – 4 = –4
(0; –4) – вершина параболы

x	1	2	–2
y	–5	–8	–8

    y = kx, прямая проходящая через начало координат (0; 0).
    1-я прямая проходит через точку (–1; –5):

–5 = k·(–1)
k = –5/(–1) = 5

    Две другие прямые являются касательными к параболе, в точке касания координаты х и у функций равны:

y = y
–x² – 4 = kx
–x² – kx – 4 = 0 |:(–1)
x² + kx + 4 = 0

D = k² – 4·1·4 = k² – 16 = 0, координата х должна быть единственная, значит D = 0.
k² = 16
k₁ = +√16 = 4
k₂ = –√16 = –4

Ответ: –4; 4; 5.