Про комплексное число z известно, что |z − 4 − 7i| = |z + 4 − i|.

Задание ЕГЭ

Про комплексное число z известно, что |z − 4 − 7i| = |z + 4 − i|. Найдите наименьшее значение |z|.

Решение

Решение:

    Комплексное число состоит из действительной и мнимой части i:

z = x + y·i

    Подставим:

|x + y·i − 4 − 7i| = |x + y·i + 4 − i|
|x − 4 + y·i − 7i| = |x + 4 + y·i − i|
|(x − 4) + (y − 7)·i| = |(x + 4) + (y − 1)·i|

    По определению:

    Получаем:

(x − 4)² + (y − 7)² = (x + 4)² + (y − 1)²
x² – 8x + 16 + y² – 14y + 49 = x² + 8x + 16  + y² – 2y + 1
–16x – 12y + 48 = 0 | :(–4)
4x + 3y – 12 = 0 – линейная функция, графиком является прямая.

    |z|_{наименьшее} – это наименьшее расстояние от (0; 0) до прямой, это высота АН треугольника АВС. Найдём высоту в прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4, значит гипотенуза равна 5 (египетский треугольник):

Ответ: 2,4.