Задание ЕГЭ
Прямая у = 5х + 11 является касательной к графику функции у = х3 + 4х2 + 9х + 11. Найдите абсциссу точки касания.Решение
Решение:
В точке касания прямой и функции равны значения их уравнений и значения производных.
Найдём значения производных:
y′ = 5x + 11 = 5
y′ = x3 + 4x2 + 9x + 11 = 3x2 + 8x + 9
Приравняем производные, найдём абсциссу точки:
3x2 + 8x + 9 = 5
3x2 + 8x + 4 = 0
D = 82 – 4·3·4 = 16 = 42
x_{1}=\frac{–8+4}{2\cdot 3}=\frac{–4}{6}=–\frac{2}{3}\\x_{2}=\frac{–8–4}{2\cdot 3}=\frac{–12}{6}=–2
Приравняем уравнения касательной и функции:
x3 + 4x2 + 9x + 11 = 5x + 11
x3 + 4x2 + 4x = 0
Проверим найденные точки, выполняется ли равенство:
х = –2
x3 + 4x2 + 4x = 0
(–2)3 + 4·(–2)2 + 4·(–2) = 0
0 = 0 – верно
х = –\frac{2}{3}
x3 + 4x2 + 4x = 0
(–\frac{2}{3})3 + 4·(–\frac{2}{3})2 + 4·(–\frac{2}{3}) ≠ 0
-\frac{8}{27}+4\cdot \frac{4}{9}-\frac{8}{3}\neq 0\\\frac{–8+4\cdot 4\cdot 3–8\cdot 9}{27}\neq 0\\\frac{–32}{27}\neq 0
не верно
Абсцисса точки касания х = –2.
Ответ: –2.