Радиус основания цилиндра равен 5, а высота равна 8.

Задание ЕГЭ

Радиус основания цилиндра равен 5, а высота равна 8. Отрезки AB и CD диаметры одного из оснований цилиндра, а отрезок AA1 его образующая. Найдите косинус угла между прямыми A1C и BD, если синус угла CAB равен 0,8.

Решение

Решение:

    Рассмотрим ΔАСО и ΔDBO, в них стороны AO = OC = OD = OB, как радиусы, углы при вершине О равны как вертикальные. Значит треугольники равны по углу и двум сторонам.
    Тогда ∠СAO = ∠DBO, они внутренне накрест лежащие, тогда AC || BD.
    По условию надо найти синус угла между прямыми A₁C и BD, параллельным переносом перенесём BD на прямую АС и найдём угол АСА₁.
    Рассмотрим ΔАСА₁:

    Рассмотрим ΔАСО и ΔDBO, в них стороны AO = OC = OD = OB, как радиусы, углы при вершине О равны как вертикальные. Значит треугольники равны по углу и двум сторонам.
    Тогда ∠СAO = ∠DBO, они внутренне накрест лежащие, тогда AC || BD.
    По условию надо найти синус угла между прямыми A₁C и BD, параллельным переносом перенесём BD на прямую АС и найдём угол АСА₁.
    Рассмотрим ΔАСА₁:

sin\angle A=\frac{OH}{OA}=0,8\\\frac{OH}{5}=0,8\\OH=0,8\cdot 5=4

    Получаем ΔАОН египетский со сторонами 5, 4 и 3. AH = 3 (или по теореме Пифагора). Тогда AC:

AC = 2·AH = 2·3 = 6

    Найдём в прямоугольном треугольнике АСА₁ сторону А₁С по теореме Пифагора:

А₁С² = АА₁² + АС²
А₁С² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
А₁С = √100 = 10

    Найдём косинус угла между прямыми A₁C и BD:

cos\angle ACA_{1}=\frac{AC}{A_{1}C}=\frac{6}{10}=0,6

Ответ: 0,6.