Задание ЕГЭ
Расстояние между пристанями А и В равно 45 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 28 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.Решение
Решение:
х – скорость лодки в неподвижной воде
Плот плыл со скоростью течения реки 4 км/ч, проплыл 28 км. Найдём время плота:
28/4 = 7 часов
Лодка отправилась в путь на 1 час позже, значит в пути она была:
7 – 1 = 6 часов
Лодка проплыла по течению 45 км, со скоростью х + 4 км/ч и против течения 45 км со скоростью х – 4 км/ч.
Время потраченное на путь по течению равно \frac{45}{x+4}, а на путь против течения \frac{45}{x-4}. Зная что всего лодка была в пути 6 часов, составим уравнение:
\frac{45}{x+4}+\frac{45}{x-4}=6\\\frac{45(x-4)+45(x+4)}{(x+4)(x-4)}=6\\\frac{45(x-4+x+4)}{x^{2}-4^{2}}=6\\\frac{45\cdot 2x}{x^{2}-16}=6\\\frac{90x}{x^{2}-16}=6
6·(x2 – 16) = 90x·1
6x2 – 90x – 96 = 0 |:6
x2 – 15x – 16 = 0
D = (–15)2 – 4·1·(–16) = 225 + 64 = 289 = 172
x_{1}=\frac{15+17}{2\cdot 1}=\frac{32}{2}=16 \\ x_{1}=\frac{15-17}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1\color{Blue} <0
Полученное уравнение имеет единственный положительный корень 16, удовлетворяющий условию задачи.
Ответ: 16.