Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Числа, равные произведению первого члена этой прогрессии на второй, второго на шестой …

На чтение 1 мин Просмотров 9 Обновлено 03.04.2024

Задание ЕГЭ

Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Числа, равные произведению первого члена этой прогрессии на второй, второго на шестой, шестого на первый, образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой геометрической прогрессии.

Решение

Решение:

Дана арифметическая прогрессия: а₁, а₂, а₃, а₄, а₅, а₆ …, её разность не равна 0, d ≠ 0.
По условию задачи, существует геометрическая прогрессия: а₁·а₂, а₂·a₆, a₆·a₁. Её знаменатель q можно выразить следующими способами:

$q=\frac{a_{2}\cdot a_{6}}{a_{1}\cdot a_{2}}=\frac{a_{6}}{a_{1}}$

$q=\frac{a_{6}\cdot a_{1}}{a_{2}\cdot a_{6}}=\frac{a_{1}}{a_{2}}$

Приравняем знаменатели q:

$\frac{a_{6}}{a_{1}}=\frac{a_{1}}{a_{2}}$

а₁² = а₆·а₂

Выразим а₂ и а₆, через а₁ по формуле n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + d(n – 1)
a₂ = a₁ + d(2 – 1) = a₁ + d
a₆ = a₁ + d(6 – 1) = a₁ + 5d

Тогда:

а₁² = а₆·а₂
а₁² = (a₁ + 5d)·(a₁ + d)
а₁² = а₁² + а₁d + 5a₁d + 5d²
6a₁d + 5d² = 0
d·(6a₁ + 5d) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен 0, по условию d ≠ 0, тогда:

6a¹ + 5d = 0
5d = –6a₁

$d=\frac{-6a_{1}}{5}$

Найдём q:

$q=\frac{a_{6}}{a_{1}}=\frac{a_{1}+5d}{a_{1}}=\frac{a_{1}+5\frac{-6a_{1}}{5}}{a_{1}}=\frac{a_{1}-6a_{1}}{a_{1}}=\frac{-5a_{1}}{a_{1}}=-5$

Ответ: –5.