Задание ЕГЭ
а) Решите уравнение sin2x=cos(–\frac{3\pi}{2}–x). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [2\pi;\frac{7\pi}{2}].Решение
Решение:
В левой части уравнения используем формулу синуса двойного угла, а в правой части, что что косинус функция чётная и формулы приведения:
{\color{Blue} a)} sin2x=cos(–\frac{3\pi}{2}–x)\\2sinxcosx=cos(–(\frac{3\pi}{2}+x))\\2sinxcosx=cos(\frac{3\pi}{2}+x)\\2sinxcosx=sinx\\2sinxcosx-sinx=0\\sinx\cdot (2cosx-1)=0\\sinx=0\\x=\pi n,n\in Z\\{\color{Blue} или} \\ 2cosx-1=0\\ 2cosx=1\\cosx=\frac{1}{2}\\x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z
б) С помощью числовой окружности отберём корни принадлежащие отрезку [2\pi;\frac{7\pi}{2}]:
x_{1} = 2\pi\\x_{2}=2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi\cdot 3+\pi\cdot 1}{3}=\frac{7\pi}{3}\\x_{3}=3\pi
Ответ: a)\pi n,n\in Z;\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z \\б) 2\pi; \frac{7\pi}{3};3\pi.