Задание ЕГЭ
Решите уравнение (x – 1)4 – 2(х – 1)2 – 3 = 0.Решение
Решение:
(x – 1)2·2 – 2(х – 1)2 – 3 = 0
((x – 1)2)2 – 2(х – 1)2 – 3 = 0
Замена (х – 1)2 = t, t > 0
t2 – 2t – 3 = 0
D = (–2)2 – 4·1·(–3) = 4 + 12 = 16 = 42
t_{1}=\frac{2–4}{2\cdot 1}=\frac{–2}{2}=–1\:{\color{Blue} <0\:\notin }\\t_{2}=\frac{2+4}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3
Обратная замена:
(х – 1)2 = 3
х2 – 2х + 1 = 3
х2 – 2х + 1 – 3 = 0
х2 – 2х – 2 = 0
D = (–2)2 – 4·1·(–2) = 4 + 8 = 12 = (2√3)2
x_{1}=\frac{2–2\sqrt{3}}{2\cdot 1}=\frac{2\cdot (1–\sqrt{3})}{2}=1–\sqrt{3}\\x_{2}=\frac{2+2\sqrt{3}}{2\cdot 1}=\frac{2\cdot (1+\sqrt{3})}{2}=1+\sqrt{3}
Ответ: 1–√3; 1+√3.