Задание ЕГЭ
Решите уравнение (x2 + x – 6)2 + (x2 – 9)2 = 0.Решение
Решение:
(x2 + x – 6)2 + (x2 – 9)2 = 0
(x2 + x – 6)2 + (x2 – 32)2 = 0
(x2 + x – 6)2 + ((x – 3)·(x + 3))2 = 0
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
x2 + x – 6 = 0
D = 12 – 4·1·(–6) = 1 + 24 = 25 = 52
x_{1}=\frac{–1+5}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2\\x_{2}=\frac{–1–5}{2\cdot 1}=\frac{–6}{2}=-3
x2 + x – 6 = (x – 2)(x –(–3)) = (x – 2)(x + 3)
((x – 2)(x + 3))2 + ((x – 3)·(x + 3))2 = 0
(x – 2)2·(x + 3)2 + (x – 3)2·(x + 3)2 = 0
Вынесем общий множитель за скобки:
(x + 3)2·((x – 2)2 + (x – 3)2) = 0
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю:
(x + 3)2 = 0
x1 = –3
или
(x – 2)2 + (x – 3)2 = 0
х2 – 4х + 4 + х2 – 6х + 9 = 0
2х2 – 10х + 13 = 0
D = (–10)2 – 4·2·13 = 100 – 104 = –4 < 0 корней нет
Ответ: –3.