Задание ЕГЭ
Петя записал на доске два различных натуральных числа. Затем он их сложил, перемножил, вычел из большего записанного числа меньшее и разделил большее на меньшее. Сложив четыре полученных результата, Петя получил число 1521. Найдите все такие пары натуральных чисел. В ответ запишите их сумму.Решение
Решение:
Пусть первое число х, а второе у. Числа не равны нулю и целые (т.к. натуральные), одно из них больше другого, пусть х > y (т.к. различные).
Найдём четыре полученных Петей результата:
х + у
ху
х – у
Сложив эти четыре результата Петя получил сумма равную 1521:
х + у + ху + х – у + = 1521
2х + ху + = 1521
Приводим к общему знаменателю левую часть:
Извлекаем корень из обоих частей уравнения:
Разложим 39 на множители:
1) 1·39 = 39
2) 39·1 = 39
3) 3·13 = 39
4) 13·3 = 39
, т.к. х ≠ y, а х > y, значит 1-й вариант нам не подходит.
Если y + 1 = 1, то y = 0, а по условию y ≠ 0, 2-й вариант тоже не подходит.
Если y + 1 = 13, а , то у = 13 – 1 = 12, найдём х:
х = 12·9 = 108
Первая подходящая пара чисел: 108 и 12.
Если y + 1 = 3, а , то у = 3 – 1 = 2, найдём х:
х = 2·169 = 338
Вторая подходящая пара чисел: 338 и 2.
Найдём сумму найденных чисел:
108 + 12 + 338 + 2 = 460
Ответ: 460.