Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану – 1 копейка, за другую 2 копейки …

Задание ЕГЭ

Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран.

Решение

Решение:

    Задача на геометрическую прогрессию, формула есть в справочных материалах ОГЭ.
    b₁ = 1 коп. – вознаграждение за первую рану;
    b₂ = 2 коп. – вознаграждение за вторую рану;
    b₃ = 4 коп. – вознаграждение за третью рану;
    q = 2 – знаменатель, вознаграждение увеличивается каждый раз в два раза;
    S_n = 655 руб. 35 коп. = 65535 коп. – сумма вознаграждений за все раны;
    n – ?, количество ран;

    По формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии, найдём n:

2ⁿ – 1 = 65525
2ⁿ = 65525 + 1
2ⁿ = 65526

    Осталось подобрать n, из информатики знаем, что 2¹⁰ = 1024, тогда:

2¹¹ = 1024·2 = 2048
2¹² = 2048·2 = 4096
2¹³ = 4096·2 = 8192
2¹⁴ = 8192·2 = 16384
2¹⁵ = 16384·2 = 32768
2¹⁶ = 32768·2 = 65536

    Значит воин за свою службу получил 16 ранений.

Ответ: 16.