Задание ЕГЭ
Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 2020√3. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник MPK, если точки М, Р и К – середины сторон АВ, CD, EF соответственно.Решение
Решение:
Стороны ΔMPK, являются средними линиями трапеций с основанием равным 2020√3, а второе основание, является диаметром описанной окружности шестиугольника и равно как две стороны шестиугольника 2020√3 + 2020√3 = 4040√3.
Найдём средние линии трапеции (стороны ΔMPK):
\frac{2020\sqrt{3}+4040\sqrt{3}}{2}=\frac{6060\sqrt{3}}{2}=3030\sqrt{3}
Радиус вписанной окружности в равносторонний ΔMPK находится по формуле:
r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{3030\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{3030}{2}=1515
Ответ: 1515.