Задание ЕГЭ
Сторона равностороннего треугольника АВС равна 6√3. Найдите скалярное произведение векторов \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CA}.Решение
Решение:
Построим рисунок по условию задачи:
Перенесём вектор СА так, что бы его начало было в той же точке, что и начало вектора АВ:
Перенесём вектор СА так, что бы его начало было в той же точке, что и начало вектора АВ:
Найдём угол между векторами, он смежный с углом равностороннего треугольника. Сумма смежных углов всегда равна 180.
α = 180° – 60° = 120°
Найдём скалярное произведение векторов \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CA}
\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{CA}|\cdot cos\alpha=6\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}\cdot cos120^{\circ }=36\cdot (\sqrt{3})^{2}\cdot (-\frac{1}{2})=36\cdot 3\cdot (-\frac{1}{2})=-54
Ответ: –54.