Задание ЕГЭ
Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени».Решение
Решение:
Вероятность попадания отдельного выстрела: 0,6
Вероятность промаха отдельного выстрела: 1 – 0,6 = 0,4
На каждую мишень у стрелка два выстрела. Отсюда следует, что стрелок или не поразит мишень или поразит мишень с 1-го выстрела или поразит со 2-го выстрела. Вероятность, что он поразит мишень:
с 1-го выстрела: попадание = 0,6
со 2-го выстрела: промах попадание = 0,4·0,6 = 0,24
с 1-го или 2-го выстрела: 0,6 + 0,24 = 0,84
Вероятность не поразить мишень с двух выстрелов:
1 – 0,84 = 0,16
А – событие «стрелок поразит ровно три мишени».
Пусть стрелок первые три мишени поразит, а в последние две промахнется. Вероятность этого события равна:
0,84·0,84·0,84·0,16·0,16 = 0,843·0,162
Стрелок попадает в мишень и промахиваться по мишени в случайном порядке, главное, что три раза попал. Всего число таких комбинаций вариантов «попал в 3 мишени и в 2 промахнулся» равно C_{5}^{3} – число способов выбрать из пяти элементов три, (число сочетаний из 5 по 3).
C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\\C_{5}^{3}=\frac{5!}{3!\cdot (5-3)!}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=\frac{4\cdot 5}{2\cdot 1}=2\cdot 5=10
Найдём вероятность события А:
Р(А) = 10·0,843·0,162
Аналогично находим вероятность В – событие «стрелок поразит ровно две мишени»:
C_{5}^{2}=\frac{5!}{2!\cdot (5-2)!}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{4\cdot 5}{2\cdot 1}=2\cdot 5=10
Р(В) = 10·0,842·0,163
Найдём во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени»:
\frac{P(A)}{P(B)}=\frac{10·0,84^{3}·0,16^{2}}{10·0,84^{2}·0,16^{3}}=\frac{0,84}{0,16}=5,25
Ответ: 5,25.