Сумма ста натуральных чисел равна 5000. Все эти числа разбили на три группы, причём во всех …

Задание ЕГЭ

Сумма ста натуральных чисел равна 5000. Все эти числа разбили на три группы, причём во всех группах разное количество чисел. Известно, что:   – в первой группе 29 чисел, их среднее арифметическое равно 21;   – среднее арифметическое чисел второй группы равно 50;   – среднее арифметическое чисел третьей группы – целое число. Найдите количество чисел в третьей группе.

Решение

Решение:

    Среднее арифметическое всех 100 чисел равно:

5000/100 = 50

    Во 2-й группе среднее тоже 50. Значит среднее арифметическое совокупности чисел первой и третьей групп также 50.
    Пусть в третьей группе n чисел, а их среднее арифметическое равно целому числу m.
    Сумма чисел в данных группах:

29·21 + nm

    Всего чисел в данных группах:

29 + n

    Зная, что их общее среднее арифметическое равно 50, составим уравнение:

50(29 + n) = 29·21 + nm
50·29 + 50n = 29·21 + nm
50·29 – 29·21 = nm – 50n
29(50 – 21) = n(m – 50)
29² = n(m – 50)

    По условию m целое, значит 29²/n, должно делится нацело. Возможны случаи: 

    n = 29² – не подходит, т.к. больше общего количества чисел 100;
    n = 29 – не подходит, т.к. столько чисел в первой группе, а их должно быть разное количество; 
    n = 1 – подходит. 

Ответ: 1.