Задание ЕГЭ
Сумма цифр трёхзначного числа A равна S. а) Может ли произведение A·S быть равно 1435? б) Может ли произведение A·S быть равно 1436? в) Найдите наименьшее значение произведения A·S, если известно, что оно больше 1918.Решение
Решение:
A – трёхзначное число abc = 100·a + 10·b + c. Может принимать значения от 100 до 999, 100 ≤ А ≤ 999.
S – сумма чисел трёхзначного числа: a + b + c. Может принимать значения от 1 + 0 + 0 = 1 до 9 + 9 + 9 = 27, 1 ≤ S ≤ 27.
а) А·S = 1435
Разложим 1435 на простые множители:
1435 = 5·7·41
Пусть S = 5, тогда А = 7·41 = 287. Проверим сумму цифр числа А:
2 + 8 + 7 = 17 ≠ S
Пусть S = 7, тогда А = 5·41 = 205. Проверим сумму цифр числа А:
2 + 0 + 5 = 7 = S
Верно, равенство А·S = 1435 выполняется, например, при А = 205.
б) A·S = 1436
Разложим 1436 на простые множители:
1436 = 2·2·359
Пусть S = 2, тогда А = 2·359 = 718. Проверим сумму цифр числа А:
7 + 1 + 8 = 16 ≠ S
S не может быть равно 359, т.к. S ≤ 27.
Равенство A·S = 1436 выполнятся не может.
в) Первое значение после 1918 – это 1919, разложим на простые множители:
1919 = 19∙101
S, может быть равно 19, тогда A = 101, 1 + 0 + 1 ≠ 19 не верно.
Разложим на простые множители 1920:
1920 = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙3∙5
S = 2, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙3∙5 = 906, 9 + 0 + 6 ≠ 2;
S = 3, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙5 = 906, 6 + 4 + 0 ≠ 3;
S = 2·2 = 4, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙3∙5 = 480, 4 + 8 + 0 ≠ 4;
S = 5, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙3 = 906, 3 + 8 + 4 ≠ 5;
S = 2·3 = 6, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙5 = 320, 3 + 2 + 0 ≠ 6;
S = 2·2·2 = 8, тогда A = 2∙2∙2∙2∙3∙5 = 240, 2 + 4 + 0 ≠ 8;
S = 2·5 = 10, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙3 = 240, 1 + 9 + 2 ≠ 10;
S = 2·2·3 = 12, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙5 = 160, 1 + 6 + 0 ≠ 12;
S = 2·2·2·2 = 16, тогда A = 2∙2∙2∙3∙5 = 120, 1 + 2 + 0 ≠ 16;
S = 2·2·5 = 20, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙3 = 96 – не трёхзначное;
S = 2·2·2·3 = 24, S не может быть больше 23.
Разложим на простые множители 1921:
1921 = 17∙113
S = 17, тогда A = 113, 1 + 1 + 3 ≠ 17;
Разложим на простые множители 1922:
1922 = 2∙31∙31
S = 2, тогда A = 31∙31 = 961, 9 + 6 + 1 ≠ 2;
Разложим на простые множители 1923:
1923 = 3∙641
S = 3, тогда A = 641, 6 + 4 + 1 ≠ 3;
Разложим на простые множители 1924:
1924 = 2∙2∙13∙37
S = 2, тогда A = 2∙13∙37 = 962, 9 + 6 + 2 ≠ 2;
S = 2·2 = 4, тогда A = 13∙37 = 481, 4 + 8 + 1 ≠ 4;
S = 13, тогда A = 2∙2∙37 = 148, 1 + 4 + 8 ≠ 13;
Разложим на простые множители 1925:
1925 = 5∙5∙7∙11
S = 5, тогда A = 5∙7∙11 = 385, 3 + 8 + 5 ≠ 5;
S = 7, тогда A = 5∙5∙11 = 275, 2 + 7 + 5 ≠ 7;
S = 11, тогда A = 5∙5∙7 = 175, 1 + 7 + 5 ≠ 11;
Разложим на простые множители 1926:
1926 = 2∙3∙3∙107
S = 2·3 = 6, A = 3∙107 = 321, 3 + 2 + 1 = 6, верно.
Наименьшее значение произведения А·S большее 1918, это 1926.
Ответ: а) да;
б) нет;
в) 1926.