Задание ЕГЭ
Точка Е – середина боковой стороны АВ трапеции АВСD. Докажите, что сумма площадей треугольников ВСЕ и АDЕ равна половине площади трапеции.Решение
Решение:
Проведём через точку Е высоту НК трапеции ABCD:
ЕН является высотой ΔВСЕ, ЕК является высотой ΔADE.
Рассмотрим ΔЕНВ и ΔЕAK, они прямоугольные (∠ВНЕ = ∠КАЕ = 90°), гипотенузы ЕВ = АЕ, т.к. Е середина, ∠НВЕ = ∠ЕАК, как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей.
Значит ΔЕНВ = ΔЕAK, тогда соответствующие стороны равны:
ЕН = ЕК
Площадь трапеции АВСD находится по формуле:
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot HK=\frac{1}{2}\cdot(BC+AD)\cdot HK
Площадь ΔВСЕ:
S_{BCE}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot EH=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot EK
Площадь ΔADE:
S_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot EK
Cумма площадей треугольников равна:
S_{BCE}+S_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot EK+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot EK=\frac{1}{2}\cdot EK\cdot (BC+AD)=\frac{1}{2}\cdot (BC+AD)\cdot EK
Сравним формулы площади трапеции и суммы площадей треугольников, видим, что разница только в EK и HK, но:
EK=\frac{HK}{2}
Получаем, что и сумма площадей треугольников ВСЕ и АDЕ равна половине площади трапеции.
Что и требовалось доказать.