Точка К – середина боковой стороны СD трапеции АВСD.

Задание ЕГЭ

Точка К – середина боковой стороны СD трапеции АВСD. Докажите, что площадь треугольника АВК равна сумме площадей треугольников ВСК и АКD.

Решение

Решение:

    Необходимо доказать, что S_ΔABK = S_ΔBCK + S_ΔAKD.
    Трапецию ABCD, поделили на 3 этих треугольника. Значит каждая из сторон равенства будет равна \frac{1}{2}S_{ABCD}.
    Достаточно доказать, что:

S_{\Delta ABK}=\frac{1}{2}S_{ABCD}

    Продолжим прямую BK до пересечения с прямой AD в точке M.

    Необходимо доказать, что S_ΔABK = S_ΔBCK + S_ΔAKD.
    Трапецию ABCD, поделили на 3 этих треугольника. Значит каждая из сторон равенства будет равна \frac{1}{2}S_{ABCD}.
    Достаточно доказать, что:

S_{\Delta ABK}=\frac{1}{2}S_{ABCD}

    Продолжим прямую BK до пересечения с прямой AD в точке M.

    Рассмотрим ΔBCK и ΔKMD. Стороны СK = KD по условию, углы при вершине К равны как вертикальные. ∠BCK = ∠KDM как внутренне накрест лежащие, при двух параллельных прямых: ВС, AD и секущей СD. Значит ΔBCK = ΔKMD (по стороне и прилежащим углам).

    Если ΔBCK = ΔKMD, то S_ABCD = S_ΔABM.
    Так же из равенства треугольников следует BK = KM, значит AK медиана, тогда:

S_ΔABK = S_ΔAKM
(BK = KM равные основания, и одна и та же высота из вершины А к прямой ВМ)

    Отсюда:

S_{\Delta ABK}=\frac{1}{2}S_{\Delta ABM}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=S_{\Delta BCK}+S_{\Delta AKD}

    Что и требовалось доказать.