Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем BC = CD = DE, а AC⊥BE.

Задание ЕГЭ

Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем BC = CD = DE, а AC⊥BE. Точка K – пересечение прямых BE и AD.

Решение

Решение:

BC = CD = DE, AC⊥BE, K – точка пересечения BE и AD.
Обозначим: T – точка пересечения АС и ВЕ, М – точка пересечения СЕ и DA.

а) Доказать: DM = МK.

∠BEC = ∠CAD = ∠CED = ∠ECD = ∠α – как вписанные углы окружности опирающиеся на равные дуги ‿BC = ‿CD = ‿DE (равны хорды стягивающие дуги).
Т.к. AC⊥BE, то ∠ATK = 90°.
Рассмотрим ΔATK и ΔMKE, в них ∠AKT = ∠MKE – вертикальные, ∠TAK = KEM – совпадающие с вписанными углами. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит и третьи углы равны ∠ATK = ∠EMK = 90°.
В ΔKED МE является медианой и высотой, значит треугольник равнобедренный, МE медиана, тогда DM = МK.
Что и требовалось доказать.

б) AD = 4, DC = √3. Найти: S_ΔАВK.

В ΔАВK AT биссектриса (∠BAT = ∠TAK, как совпадающие с вписанными опирающимися на равные дуги) и высота (∠ATK = 90°), значит и медиана, треугольник равнобедренный, боковые стороны равны АВ = AK.
Площадь ΔАВТ будем искать как половину произведения его сторон на синус угла между ними:

$S_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin\angle C$

Прямая CE пересекает прямые BE и CD, образованные накрест лежащие углы равны ∠ECD = ∠СЕB (как вписанные опирающиеся на равные дуги), значит BE||CD. TC секущая к этим же прямым, накрест лежащие углы равны ∠BTC = ∠TCD = 90°.
Треугольник ACD – прямоугольный (∠ACD = 90°) вписан в окружность, значит его гипотенуза является диаметром окружности D = 2R = AD = 3.
По теореме синусов найдём sinα:

$\frac{CD}{sin\angle CAD}=2R\\\frac{\sqrt{3}}{sin\alpha}=4\\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}$

Найдём cosα:

cos²α + sin²α = 1
$cos\alpha=\sqrt{1-sin^{2}\alpha}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{4})^{2}}=\sqrt{1-\frac{3}{16}}=\sqrt{\frac{13}{16}}=\frac{\sqrt{13}}{4}$

Найдём sin∠BAK = sin2α (∠BAK = ∠BAT + ∠TAK = α + α = 2α):

sin2α = 2sinα·cosα
$sin\angle BAK=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{13}}{4}=\frac{\sqrt{39}}{8}$

DC = DE = KE = √3. Из прямоугольного ΔKME найдём МK:

$sin\alpha=\frac{MK}{KE}\\\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{MK}{\sqrt{3}}$
4·MK = √3·√3
4·MK = 3
MK = $\frac{3}{4}$

Найдём DK:

DK = 2·МK = 2· $\frac{3}{4}$ = $\frac{3}{2}$ = 1,5

Найдём AK = AB:

AK = AB = AD – DK = 4 – 1,5 = 2,5

Найдём площадь треугольника АВK:

$S_{\Delta ABK}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AK\cdot sin\angle BAK=\frac{1}{2}\cdot 2,5\cdot 2,5\cdot \frac{\sqrt{39}}{8}=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{\sqrt{39}}{8}=\frac{25\sqrt{39}}{64}$

Ответ: $\frac{25\sqrt{39}}{64}$ .