Точки A1, B1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

Задание ЕГЭ

Точки A1, B1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС. а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1 пересекаются в одной точке. б) Известно, что АВ = АС = 17 и ВС = 16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1.

Решение

Решение:

а) Пусть М – отличная от А₁ точка пересечения окружностей (двух), описанных около треугольников ΔА₁ВС₁ и ΔA₁CB₁.

    Четырёхугольник А₁ВС₁М вписан в окружность, поэтому сумма его противолежащих углов равна 180°, выразим ∠А₁МС₁:

∠А₁МС₁ = 180° – ∠В

    Аналогично для четырёхугольника А₁СВ₁М:

∠А₁МВ₁ = 180° – ∠С

    Найдём ∠В₁МС₁:

∠В₁МС₁ = 360° – (∠А₁МС₁ + ∠А₁МВ₁) = 360° – ( 180° – ∠В + 180° – ∠С) = 360° – 360° + ∠В + ∠С = ∠В + ∠С

    Сумма углов любого треугольника равна 180° (ΔАВС), тогда:

∠В₁МС₁ = ∠В + ∠С = 180° – ∠А

    Т.к. у четырёхугольника В₁АС₁М сумма противоположных углов равна 180° (∠А+ ∠В₁МС₁ = 180°, а значит и ∠АС₁М + ∠АВ₁М = 180°), значит он тоже вписанный в окружность.
    Следовательно, точка М лежит и на описанной окружности (третьей) треугольника ΔB₁AC₁. Значит все три окружности пересекаются в одной точке М.
    Что и требовалось доказать.

б) АВ = АС = 17, ВС = 16, найти r окружности вписанной в ΔО₁О₂О₃, где О₁, О₂, О₃ центры окружностей описанных около А₁ВС₁, А₁СВ₁ и В₁АС₁ соответственно:

    Четырёхугольник А₁ВС₁М вписан в окружность, поэтому сумма его противолежащих углов равна 180°, выразим ∠А₁МС₁:

∠А₁МС₁ = 180° – ∠В

    Аналогично для четырёхугольника А₁СВ₁М:

∠А₁МВ₁ = 180° – ∠С

    Найдём ∠В₁МС₁:

∠В₁МС₁ = 360° – (∠А₁МС₁ + ∠А₁МВ₁) = 360° – ( 180° – ∠В + 180° – ∠С) = 360° – 360° + ∠В + ∠С = ∠В + ∠С

    Сумма углов любого треугольника равна 180° (ΔАВС), тогда:

∠В₁МС₁ = ∠В + ∠С = 180° – ∠А

    Т.к. у четырёхугольника В₁АС₁М сумма противоположных углов равна 180° (∠А+ ∠В₁МС₁ = 180°, а значит и ∠АС₁М + ∠АВ₁М = 180°), значит он тоже вписанный в окружность.
    Следовательно, точка М лежит и на описанной окружности (третьей) треугольника ΔB₁AC₁. Значит все три окружности пересекаются в одной точке М.
    Что и требовалось доказать.

б) АВ = АС = 17, ВС = 16, найти r окружности вписанной в ΔО₁О₂О₃, где О₁, О₂, О₃ центры окружностей описанных около А₁ВС₁, А₁СВ₁ и В₁АС₁ соответственно:

    Радиус окружности вписанной в ΔО₁О₂О₃ можно найди по формуле:

r=\frac{2\cdot S_{\Delta O_{1}O_{2}O_{3}}}{P_{\Delta O_{1}O_{2}O_{3}}}

    По условию АВ = АС, тогда и АС₁ = АВ₁, значит ΔАС₁В₁ равнобедренный ⇒ АМ диаметр окружности описанной около равнобедренного треугольника. 
    Поэтому отрезок МВ₁⊥АС (т.к. ΔАМВ₁ вписанный опирающийся на диаметр, а значит прямоугольный), значит СМ тоже диаметр (т.к. ∠МВ₁С = 90°) описанный около треугольника СВ₁А₁.
    ΔАМВ₁ = ΔСМВ₁ (МВ₁ – общая, АВ₁ = СВ₁, ∠АВ₁М = ∠СВ₁М = 90°), тогда и соответствующие стороны равны, они же диаметры окружностей:

АМ = СМ

    Аналогично для диаметров АМ и ВМ, тогда:

АМ = СМ = ВМ

    Получаем три равнобедренных треугольника ΔАМВ, ΔАМС, ВМС, у которых точки О₁, О₂, О₃ середины сторон (как центры окружностей на диаметрах), тогда О₁О₃, О₁О₂, О₂О₃ средние линии, они равны половине соответствующих оснований, найдём их:

O_{1}O_{3}=\frac{АВ}{2}=\frac{17}{2}=8,5\\O_{2}O_{3}=\frac{АС}{2}=\frac{17}{2}=8,5\\O_{1}O_{2}=\frac{ВС}{2}=\frac{16}{2}=8

    Найдём периметр ΔО₁О₂О₃:

Р_Δ = О₁О₃ + О₂О₃ + О₁О₂ = 8,5 + 8,5 + 8 = 25

    По формуле Герона найдём площадь ΔО₁О₂О₃. Полупериметр равен:

p=\frac{P_{\Delta}}{2}=\frac{25}{2}=12,5

    Площадь равна:

S_{\Delta O_{1}O_{2}O_{3}}=\sqrt{p(p-O_{1}O_{3})(p-O_{2}O_{3})(p-O_{1}O_{2})}=\sqrt{12,5(12,5-8,5)(12,5-8,5)(12,5-8)}=\sqrt{12,5\cdot 4\cdot 4\cdot 4,5}=\sqrt{900}=30

    Найдём искомый радиус r:

r=\frac{2\cdot S_{\Delta O_{1}O_{2}O_{3}}}{P_{\Delta O_{1}O_{2}O_{3}}}=\frac{2\cdot 30}{25}=\frac{2\cdot 6}{5}=\frac{12}{5}=2,4

Ответ: б) 2,4.