Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A.

Задание ЕГЭ

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = \frac{\sqrt{7}}{4}.

Решение

Решение:

Введём обозначения как на рисунке:

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A.

∠ВАС = ∠MAF = ∠NAF – как соответствующие.
По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь):
Если из одной точки (А) к окружности проведены секущая (АN) и касательная (АF), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АF).

АN·АM = АF²
24·42 = АF²
1008 = АF²
АF = √1008 = 12√7

Из справочного материала ОГЭ для ΔАMF используем теорему косинусов:

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A.

АN·АM = АF²
24·42 = АF²
1008 = АF²
АF = √1008 = 12√7

Из справочного материала ОГЭ для ΔАMF используем теорему косинусов:

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A.

У нас FM = с (противолежащая известному углу сторона), АF = а, AM = b, cos ∠A:

FM² = AF² + AM² – 2·AF·AM·cos∠A
FM² = (12√7)² + 24² – 2·12√7·24· $\frac{\sqrt{7}}{4}$
FM² = 1008 + 576 – 1008 = 576
FM = √576 = 24

Аналогично используем для ΔАNF теорему косинусов:

FN² = AF² + AN² – 2·AF·AN·cos∠A
FN² = (12√7)² + 42² – 2·12√7·42· $\frac{\sqrt{7}}{4}$
FN² = 1008 + 1764 – 1764 = 1008
FN = √1008 = 12√7

Значит, АF = FN = 12√7, тогда ΔAFN – равнобедренный с основанием AN. Соответственно, углы при основании такого треугольника равны:

∠BAC = ∠NAF = ∠ANF

Из справочного материала ОГЭ, используя основное тригонометрическое тождество, выразим sin∠ANF:

sin²x + cos²x = 1
sin²x = 1 – cos²x
$sinx=\sqrt{1-cos^{2}x}$

Подставляем:

$sin∠ANF=\sqrt{1-cos^{2}∠BAC}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{7}}{4})^{2}}=\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{16}{16}-\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$

Из справочного материала ОГЭ, по теореме синусов для ΔFMN:

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A.

sin²x + cos²x = 1
sin²x = 1 – cos²x
$sinx=\sqrt{1-cos^{2}x}$

Подставляем:

$sin∠ANF=\sqrt{1-cos^{2}∠BAC}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{7}}{4})^{2}}=\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{16}{16}-\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$

Из справочного материала ОГЭ, по теореме синусов для ΔFMN:

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A.

$\frac{FM}{sin\angle FNM}=2R\\\frac{24}{\frac{3}{4}}=2R\\\frac{24\cdot 4}{3}=2R\\R=\frac{24\cdot 4}{3\cdot 2}=8\cdot 2=16$

Ответ: 16.