Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины А.

Задание ЕГЭ

Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся луча АВ, если cos∠BAC = \frac{\sqrt{39}}{8}.

Решение

Решение:

Введём обозначения как на рисунке:

Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины А.

∠ВАС = ∠MAF = ∠NAF – как соответствующие.
По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь):
Если из одной точки (А) к окружности проведены секущая (АN) и касательная (АF), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АF).

АN·АM = АF²
39·16 = АF²
624 = АF²
АF = √624 = 4√39

Из справочного материала ОГЭ для ΔАMF используем теорему косинусов:

Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины А.

АN·АM = АF²
39·16 = АF²
624 = АF²
АF = √624 = 4√39

Из справочного материала ОГЭ для ΔАMF используем теорему косинусов:

Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины А.

У нас FM = с (противолежащая известному углу сторона), АF = а, AM = b, cos ∠A:

FM² = AF² + AM² – 2·AF·AM·cos∠A
FM² = (4√39)² + 16² – 2·4√39·16· $\frac{\sqrt{39}}{8}$
FM² = 624 + 256 – 624 = 256
FM = √256 = 16

Аналогично используем для ΔАNF теорему косинусов:

FN² = AF² + AN² – 2·AF·AN·cos∠A
FN² = (4√39)² + 39² – 2·4√39·39· $\frac{\sqrt{39}}{8}$
FN² = 624 + 1521 – 1521 = 624
FN = √624 = 4√39

Значит, АF = FN = 4√39, тогда ΔAFN – равнобедренный с основанием AN. Соответственно, углы при основании такого треугольника равны:

∠BAC = ∠NAF = ∠ANF

Из справочного материала ОГЭ, используя основное тригонометрическое тождество, выразим sin∠ANF:

sin²x + cos²x = 1
sin²x = 1 – cos²x
$sinx=\sqrt{1-cos^{2}x}$

Подставляем:

$sin∠ANF=\sqrt{1-cos^{2}∠BAC}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{39}}{8})^{2}}=\sqrt{1-\frac{39}{64}}=\sqrt{\frac{64}{64}-\frac{39}{64}}=\sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{5}{8}$

Из справочного материала ОГЭ, по теореме синусов для ΔFMN:

Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины А.

sin²x + cos²x = 1
sin²x = 1 – cos²x
$sinx=\sqrt{1-cos^{2}x}$

Подставляем:

$sin∠ANF=\sqrt{1-cos^{2}∠BAC}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{39}}{8})^{2}}=\sqrt{1-\frac{39}{64}}=\sqrt{\frac{64}{64}-\frac{39}{64}}=\sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{5}{8}$

Из справочного материала ОГЭ, по теореме синусов для ΔFMN:

Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины А.

$\frac{FM}{sin\angle FNM}=2R\\\frac{16}{\frac{5}{8}}=2R\\\frac{16\cdot 8}{5}=2R\\R=\frac{16\cdot 8}{5\cdot 2}=\frac{128}{10}=12,8$

Ответ: 12,8.