Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины А.

Задание ЕГЭ

Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся луча АВ, если cos∠BAC = \frac{\sqrt{11}}{6}.

Решение

Решение:

    Введём обозначения как на рисунке:

    ∠ВАС = ∠MAF = ∠NAF – как соответствующие.
    По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь): 
    Если из одной точки (А) к окружности проведены секущая (АN) и касательная (АF), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АF). 

АN·АM = АF²
11·9 = АF²
99 = АF²
АF = √99 = 3√11

    Из справочного материала ОГЭ для ΔАMF  используем теорему косинусов:

    ∠ВАС = ∠MAF = ∠NAF – как соответствующие.
    По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь): 
    Если из одной точки (А) к окружности проведены секущая (АN) и касательная (АF), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АF). 

АN·АM = АF²
11·9 = АF²
99 = АF²
АF = √99 = 3√11

    Из справочного материала ОГЭ для ΔАMF  используем теорему косинусов:

    У нас FM = с (противолежащая известному углу сторона), АF = а, AM = b, cos ∠A:

FM² = AF² + AM² – 2·AF·AM·cos∠A
FM² = (3√11)² + 9² – 2·3√11·9·\frac{\sqrt{11}}{6}
FM² = 99 + 81 – 99 = 81
FM = √81 = 9

    Аналогично используем для ΔАNF теорему косинусов:

FN² = AF² + AN² – 2·AF·AN·cos∠A
FN² = (3√11)² + 11² – 2·3√11·11·\frac{\sqrt{11}}{6}
FN² = 99 + 121 – 121 = 99
FN = √99 = 3√11

    Значит, АF = FN = 3√11, тогда ΔAFN – равнобедренный с основанием AN. Соответственно, углы при основании такого треугольника равны:

∠BAC = ∠NAF = ∠ANF

    Из справочного материала ОГЭ, используя основное тригонометрическое тождество, выразим sin∠ANF:

sin²x + cos²x = 1
sin²x = 1 – cos²x
sinx=\sqrt{1-cos^{2}x}

    Подставляем:

sin∠ANF=\sqrt{1-cos^{2}∠BAC}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{11}}{6})^{2}}=\sqrt{1-\frac{11}{36}}=\sqrt{\frac{36}{36}-\frac{11}{36}}=\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}

    Из справочного материала ОГЭ, по теореме синусов для ΔFMN:

sin²x + cos²x = 1
sin²x = 1 – cos²x
sinx=\sqrt{1-cos^{2}x}

    Подставляем:

sin∠ANF=\sqrt{1-cos^{2}∠BAC}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{11}}{6})^{2}}=\sqrt{1-\frac{11}{36}}=\sqrt{\frac{36}{36}-\frac{11}{36}}=\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}

    Из справочного материала ОГЭ, по теореме синусов для ΔFMN:

\frac{FM}{sin\angle FNM}=2R\\\frac{9}{\frac{5}{6}}=2R\\\frac{9\cdot 6}{5}=2R\\R=\frac{9\cdot 6}{5\cdot 2}=\frac{54}{10}=5,4

Ответ: 5,4.