В четырёхугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке O.

Задание ЕГЭ

В четырёхугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке O. Точка F принадлежит отрезку АС. Известно, что ВО = 19, DO = 16, АС = 24. Найдите АF, если площадь треугольника FСD в три раза меньше площади четырёхугольника АВСD.

Решение

Решение:

    Площадь четырёхугольника АВСD c диагоналями АС = 24 и  BD = BO + DO = 19 + 16 = 35, находится по формуле:

S_АBCD = \frac{1}{2}·АC·BD·sinα = \frac{1}{2}·24·35·sinα = 420·sinα 

    (1) По условию задачи площадь ΔFCD равна:

S_FCD = \frac{1}{3}·S_АBCD = \frac{1}{3}·420·sinα = 140·sinα 

    Площадь ΔFCD можно вычислить по другой формуле:

S_FCD = \frac{1}{2}·FC·DH 

    Из прямоугольного ΔВHO найдём DН:

sin\alpha=\frac{DH}{DO}\\sin\alpha=\frac{DH}{16}\\DH=16\cdot sin\alpha   

    (2) Подставим в формулу площади ΔFCD:

S_FBC = \frac{1}{2}·FC·16·sinα = 8·FC·sinα 

    Прировняем две формулы (1) и (2), найдём FC:

140·sinα = 8·FC·sinα |:sinα
140 = 8·FC
FC=\frac{140}{8}=17,5   

    Найдём AF:

AF = AC – FC = 24 – 17,5 = 6,5

Ответ: 6,5.