Задание ЕГЭ
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 800 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы: – в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года; – в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.Решение
Решение:
S = 800 тыс. рублей, сумма взятого кредита;
% = 18% = 0,18
% = 16% = 0,16
\frac{1}{10}S – ежегодное снижение долга;
Сумма выплат – ? тыс. рублей.
| Год | Долг начальный | % | Платёж (\frac{1}{10}S + %) | Долг конечный (долг начальный + % – платёж) |
| 2025 | S | – | – | – |
| 2026 | S | 0,18·S | \frac{1}{10}S+0,18·S | \frac{9}{10}S |
| 2027 | \frac{9}{10}S | 0,18·\frac{9}{10}S | \frac{1}{10}S+0,18·\frac{9}{10}S | \frac{8}{10}S |
| 2028 | \frac{8}{10}S | 0,18·\frac{8}{10}S | \frac{1}{10}S+0,18·\frac{8}{10}S | \frac{7}{10}S |
| 2029 | \frac{7}{10}S | 0,18·\frac{7}{10}S | \frac{1}{10}S+0,18·\frac{7}{10}S | \frac{6}{10}S |
| 2030 | \frac{6}{10}S | 0,18·\frac{6}{10}S | \frac{1}{10}S+0,18·\frac{6}{10}S | \frac{5}{10}S |
| 2031 | \frac{5}{10}S | 0,16·\frac{5}{10}S | \frac{1}{10}S+0,16·\frac{5}{10}S | \frac{4}{10}S |
| 2032 | \frac{4}{10}S | 0,16·\frac{4}{10}S | \frac{1}{10}S+0,16·\frac{4}{10}S | \frac{3}{10}S |
| 2033 | \frac{3}{10}S | 0,16·\frac{3}{10}S | \frac{1}{10}S+0,16·\frac{3}{10}S | \frac{2}{10}S |
| 2034 | \frac{2}{10}S | 0,16·\frac{2}{10}S | \frac{1}{10}S+0,16·\frac{2}{10}S | \frac{1}{10}S |
| 2035 | \frac{1}{10}S | 0,16·\frac{1}{10}S | \frac{1}{10}S+0,16·\frac{1}{10}S | 0 |
Складываем все платежи и упрощаем выражение:
\frac{1}{10}S+0,18·S+\frac{1}{10}S+0,18·\frac{9}{10}S+\frac{1}{10}S+0,18·\frac{8}{10}S+\frac{1}{10}S+0,18·\frac{7}{10}S+\frac{1}{10}S+0,18·\frac{6}{10}S+\frac{1}{10}S+0,16·\frac{5}{10}S+\frac{1}{10}S+0,16·\frac{4}{10}S+\frac{1}{10}S+0,16·\frac{3}{10}S+\frac{1}{10}S+0,16·\frac{2}{10}S+\frac{1}{10}S+0,16·\frac{1}{10}S = S + 0,18·S·(1+\frac{9}{10}+\frac{8}{10}+\frac{7}{10}+\frac{6}{10}) + 0,16·S·(\frac{5}{10}+\frac{4}{10}+\frac{3}{10}+\frac{2}{10}+\frac{1}{10}) = S + 0,18·S·\frac{40}{10} + 0,16·S·\frac{15}{10} = S + 0,18·S·4 + 0,16·S·1,5 = 1·S + 0,72·S + 0,24·S = 1,96·S
Подставим сумму взятого кредита:
1,96·S = 1,96·800 тыс. рублей = 1568 тыс. рублей
Ответ: 1568 тыс. рублей.